VaR(Value at Risk) 완벽 정리: 모수적 방식 vs 역사적 시뮬레이션

VaR가 실제로 답하는 질문

모든 포지션은 가능한 결과의 분포를 가지고 있지만, 대부분의 리스크 논의는 결국 하나의 두려움으로 귀결됩니다. 얼마나 나빠질 수 있는가? Value at Risk(VaR)는 이 두려움에 하나의 숫자를 붙이려는 업계의 시도입니다. VaR는 정확히 이런 질문에 답합니다. “이 신뢰수준에서, 이 기간 동안, 나는 얼마나 잃을 수 있는가?”

10만 달러 포트폴리오에서 95% 1일 VaR가 $3,000이라는 것은, 하루 동안 포트폴리오가 $3,000 이상 손실을 볼 확률이 5%라는 것과 동일하게, 손실이 $3,000을 넘지 않을 확률이 95%라는 의미입니다. 이것이 전체 개념이며, 이 정밀함이 동시에 위험 요소이기도 합니다. VaR는 한계선이지 상한선이 아닙니다. 이 가이드는 VaR를 계산하는 두 가지 표준 방법, 실제 계산 예시, 그리고 — 못지않게 중요한 — VaR가 조용히 말해주지 않는 것들을 다룹니다. 직접 계산해보고 싶다면 Value at Risk 계산기가 두 방법을 모두 지원합니다.

모수적 VaR: 정규분포를 가정하다

모수적(분산-공분산) 방법은 수익률이 정규분포를 따른다고 가정합니다. 이 가정을 받아들이면, VaR는 그저 종형 곡선 위의 한 점이 됩니다. 필요한 것은 포트폴리오의 기간당 기대수익률과 변동성, 그리고 신뢰수준에 해당하는 z-score입니다 — 선택한 확률이 그 너머에 남도록 하는, 테일까지의 표준편차 개수입니다.

• 90% 신뢰수준 → z = 1.2816
• 95% 신뢰수준 → z = 1.6449
• 99% 신뢰수준 → z = 2.3263

T 기간의 기간에 대한 손실 비율 공식은 다음과 같습니다.

• VaR% = z × 변동성 × √T − 평균 × T
• VaR ($) = VaR% × 포트폴리오 가치

여기에는 두 가지 스케일링 규칙이 작동하고 있습니다. 변동성은 시간의 제곱근(√T)에 비례해 증가하는 반면, 평균 수익률은 시간에 선형적으로(×T) 비례해 증가합니다 — 이는 각 기간의 수익률이 서로 독립적이라는 가정에서 나오는 결과입니다. 평균 항을 빼는 이유는 기대 드리프트가 하방 위험 일부를 상쇄하기 때문이며, 충분히 큰 양의 평균값이 있다면 VaR는 심지어 음수가 될 수도 있습니다. 이는 해당 기간의 변동성보다 기대 수익이 더 크다는 것을 의미하는 정직한 결과입니다.

역사적 VaR: 데이터가 말하게 하라

역사적 방법은 분포에 대한 가정을 전혀 하지 않습니다. 공식 대신, 실제 과거 수익률에서 답을 그대로 읽어냅니다. 95% VaR의 경우, 수익률 시계열의 5번째 백분위수 — 최악의 5% 기간만이 초과한 손실 수준 — 를 찾아 양수 VaR 수치로 보고합니다.

• 역사적 VaR = 실제 수익률의 (100 − 신뢰수준)번째 백분위수를, 손실이 양수로 표시되도록 부호를 반전한 값

실제 수익률이 가진 형태 그대로를 사용하기 때문에, 역사적 VaR는 정규 곡선이 평탄하게 만들어버릴 팻 테일과 왜도를 포착합니다 — 종형 곡선이 예측하는 것보다 암호화폐가 훨씬 더 자주 만들어내는 갑작스러운 15% 폭락일 같은 것들입니다. 그 대가는 실제적이고 대표성 있는 수익률 시계열이 필요하다는 점이며, 역사적 VaR는 데이터가 포함하는 만큼의 나쁜 상황만 “볼” 수 있습니다. 데이터 구간에 폭락이 한 번도 포함되지 않았다면, 역사적 VaR 역시 그 폭락을 반영하지 못합니다.

실제 계산 예시

일일 변동성 1.82%, 일평균 수익률 0%인 10만 달러 포트폴리오를 예로 들어봅시다. 아래 표는 서로 다른 신뢰수준과 기간에서의 모수적 VaR와, 몇몇 험난한 날들을 포함한 표본 수익률 시계열에서 읽어낸 역사적 VaR를 보여줍니다.

방법	신뢰수준	기간	VaR %	VaR $
모수적	95%	1일	2.99%	$2,994
모수적	99%	1일	4.23%	$4,234
모수적	95%	10일	9.47%	$9,467
역사적	95%	기간당	6.60%	$6,600

두 가지가 눈에 띕니다. 첫째, 10일 VaR(9.47%)는 1일 VaR의 10배가 아닙니다 — 변동성이 시간의 제곱근에 비례해 확장되기 때문에 약 √10 ≈ 3.16배 더 큽니다. 둘째, 역사적 95% VaR인 $6,600은 모수적 95% 수치인 $2,994의 두 배가 넘습니다. 이 격차가 바로 역사적 방법을 지지하는 핵심 논거입니다. 실제 수익률 시계열에는 동일한 평균 변동성으로 보정된 매끄러운 정규 곡선이 전혀 예상하지 못하는 급격한 손실일들이 포함되어 있었습니다.

Value at Risk 계산기 사용법

이 도구는 두 가지 모드를 제공합니다. 모수적(Parametric) / 역사적(Historical) 토글로 전환할 수 있습니다.

모수적 모드에서는:

1. 포트폴리오 가치 — 계좌 통화 기준의 총 위험 가치입니다.
2. 신뢰수준 — 90%, 95%, 99% 중 선택하면 도구가 해당하는 z-score로 매핑합니다.
3. 평균 수익률(기간당) — 기간당 기대수익률을 퍼센트로 입력합니다. 드리프트를 반영하지 않으려면 0을 입력하세요.
4. 변동성(기간당, 표준편차) — 기간당 수익률의 표준편차를 퍼센트로 입력합니다.
5. 시간 지평(기간 수) — 몇 기간 앞을 볼 것인지, 예를 들어 하루면 1, 2거래주면 10을 입력합니다. 변동성은 √지평 값으로 스케일링됩니다.

역사적 모드에서는 포트폴리오 가치, 신뢰수준, 그리고 역사적 수익률(%, 쉼표 또는 줄바꿈으로 구분) 시계열을 입력합니다 — 실제 기간별 수익률을 붙여넣으면 도구가 경험적 백분위수를 직접 읽어냅니다. 두 모드 모두 결과는 Value at Risk ($)와 Value at Risk (%)로 표시됩니다.

VaR가 알려주지 않는 것

바로 이 지점에서 정직함이 중요해집니다. 두 방법 모두 한계선에서의 예상 손실 규모를 나타낼 뿐, 어느 쪽도 손실에 상한선을 두지 않습니다. 정의상, 신뢰수준의 여집합(95% VaR의 경우 5%)은 실제 손실이 VaR 수치를 초과하는 정확한 빈도입니다. VaR는 테일이 어디서 시작되는지를 알려줄 뿐, 그 테일이 얼마나 깊은지는 전혀 알려주지 않습니다. 95% VaR보다 나쁜 5%의 날들 중에서도, 손실은 완만하게 클 수도 있고 재앙적으로 클 수도 있습니다.

모수적 VaR에는 추가적인 경고가 따릅니다. 정규분포 가정은 암호화폐처럼 팻 테일이 있고 왜곡된 자산의 리스크를 과소평가하는 경향이 있는데, 이런 자산에서는 극단적인 움직임이 종형 곡선이 시사하는 것보다 훨씬 더 자주 일어나기 때문입니다 — 앞선 계산 예시의 $2,994 대 $6,600 격차가 정확히 이 효과입니다. 역사적 VaR는 이런 가정을 피하지만, 오직 데이터 구간이 정직한 만큼만 정직합니다. VaR를 안전 보장이 아니라 하나의 입력값으로 다루세요. 포지션 사이징과 리스크 관리 규칙과 함께 사용해 어느 하루도 과도한 피해를 주지 않도록 하고, 드로다운과 회복 분석으로 실제 실현된 손실의 깊이를 관찰하며, 샤프 비율과 소르티노 비율 같은 위험조정 수익률 지표를 사용해 애초에 그 수익이 감수한 리스크를 정당화했는지 판단하세요.