Ценообразование опционов по Блэку-Шоулзу: цена и греки простыми словами

Почему опцион — это не просто «страйк против спота»

Начинающие опционные трейдеры часто оценивают опцион в уме так же, как акцию: насколько далеко страйк от текущей цены? Но это отражает лишь внутреннюю стоимость — то, сколько опцион стоил бы, если бы истёк прямо сейчас. Рыночная цена опциона почти всегда выше внутренней стоимости из-за временной стоимости: вероятности того, что базовый актив продвинется дальше в вашу пользу до экспирации. Два колла с одинаковыми страйком и спотом могут торговаться по совершенно разным ценам в зависимости от того, сколько времени осталось и насколько резких движений базового актива ожидает рынок.

Модель Блэка-Шоулза-Мертона превращает эту интуицию в формулу. Она принимает пять входных параметров — спот, страйк, волатильность, безрисковую ставку и время до экспирации — и возвращает справедливую стоимость европейского колла или пута, а также пять греков, описывающих, как эта стоимость реагирует на каждый параметр. Калькулятор Блэка-Шоулза и греков выполняет весь расчёт целиком, а также работает в обратную сторону: задайте ему рыночную цену — и он найдёт подразумеваемую волатильность.

Пять входных параметров

Каждая цена по Блэку-Шоулзу строится ровно из этих величин:

• Спот-цена — текущая цена базового актива.
• Цена страйк — уровень, по которому опцион может быть исполнен.
• Волатильность (годовая) — ожидаемый размах ценовых колебаний, выраженный в процентах годовых. Это единственный параметр, который нельзя наблюдать напрямую, — именно поэтому существует режим подразумеваемой волатильности.
• Безрисковая ставка (годовая) — процентная ставка, по которой страйк дисконтируется к сегодняшнему дню.
• Время до экспирации (в днях) — вводится в календарных днях; модель переводит их в долю года (дни ÷ 365).

Сердце модели — пара величин d₁ и d₂, которые объединяют эти параметры и показывают, насколько опцион находится в деньгах или вне денег в единицах стандартного отклонения. Цена колла тогда равна S × N(d₁) − K e^−rT × N(d₂), где N() — функция стандартного нормального распределения. Цена пута зеркальна ей. Вам никогда не придётся считать это вручную — но формула объясняет, почему больше времени или больше волатильности всегда повышает цену и колла, и пута.

Пять греков

Греки — это чувствительности модели к риску, частные производные цены по каждому входному параметру. Калькулятор выводит все пять в привычных трейдерам единицах:

• Дельта — насколько меняется цена опциона при движении базового актива на $1. Дельта колла лежит в диапазоне от 0 до +1; дельта пута — от 0 до −1.
• Гамма — как быстро меняется сама Дельта при движении базового актива. Она одинакова для колла и пута с одним страйком и достигает пика около денег.
• Тета (в день) — долларовая стоимость, теряемая за каждый календарный день из-за временного распада при прочих равных. Почти всегда отрицательна для длинной позиции по опциону.
• Вега (на 1% волатильности) — изменение цены при росте волатильности на один процентный пункт. Положительна и для длинных коллов, и для длинных путов.
• Ро (на 1% ставки) — изменение цены при изменении безрисковой ставки на один процентный пункт. Положительна для коллов, отрицательна для путов.

Разбор примера

Возьмём опцион «в деньгах по центру» (at-the-money): спот и страйк по $100, волатильность 20%, безрисковая ставка 5%, до экспирации 30 календарных дней. Подставив эти значения в калькулятор, получаем:

Результат	Колл	Пут
Цена опциона	$2.49	$2.08
Дельта	+0.540	−0.460
Гамма	0.0692	0.0692
Тета (в день)	−$0.045	−$0.031
Вега (на 1% волатильности)	0.114	0.114
Ро (на 1% ставки)	+0.042	−0.040

Из этой таблицы можно сделать несколько выводов. Колл и пут имеют разные цены, хотя оба находятся точно на деньгах, — разница в $0.41 равна дисконтированной стоимости удержания позиции и удовлетворяет паритету колл-пут: колл − пут = спот − K e^−rT = 100 − 99.59 = 0.41. Гамма и Вега у колла и пута одинаковы, потому что оба реагируют на базовый актив и на волатильность одинаковым образом. Колл теряет около $0.045 стоимости в день из-за Теты, так что при прочих равных завтра он стоил бы примерно $2.45. А рост подразумеваемой волатильности на один пункт (с 20% до 21%) добавил бы к каждому около $0.114 — именно это и показывает Вега.

Как пользоваться калькулятором Блэка-Шоулза и греков

У инструмента два режима. В режиме по умолчанию Price & Greeks (цена и греки):

1. Установите Option Type (тип опциона) — колл или пут.
2. Введите Spot Price — текущую цену базового актива.
3. Введите Strike Price (цену страйк).
4. Введите Volatility (annualized) — годовую волатильность в процентах, например 20 для 20%.
5. Введите Risk-Free Rate (annualized) — годовую безрисковую ставку в процентах.
6. Введите Time to Expiry (days) — время до экспирации в календарных днях.

Калькулятор возвращает цену опциона и полный набор греков — Дельту, Гамму, Тету (в день), Вегу (на 1% волатильности) и Ро (на 1% ставки).

Переключитесь в режим Implied Volatility (подразумеваемая волатильность), когда вы уже знаете, по какой цене торгуется опцион, и хотите узнать, какую волатильность закладывает рынок. Вместо того чтобы угадывать волатильность, вы вводите Market Option Price (рыночную цену опциона); инструмент подбирает волатильность, при которой цена по Блэку-Шоулзу в точности совпадает с этой рыночной ценой, выводит её как подразумеваемую волатильность, а затем показывает греки, рассчитанные при найденной волатильности. В примере выше, если бы этот ATM-колл фактически торговался по $3.00 вместо справедливых $2.49, режим подразумеваемой волатильности вернул бы IV около 24.5% — рынок закладывает более сильные колебания, чем наши предположенные 20%.

Что предполагает модель (и где она даёт сбой)

Блэк-Шоулз — это модель, а не реальность. Калькулятор оценивает опционы европейского стиля — исполняемые только на экспирации — по формуле Блэка-Шоулза-Мертона без дивидендной доходности. Американские опционы (исполняемые в любой момент) и базовые активы с дивидендами будут оцениваться немного иначе. Модель также предполагает, что базовый актив следует логнормальному случайному блужданию с постоянной волатильностью, что реальные рынки нарушают во время обвалов и всплесков волатильности. Относитесь к результату как к обоснованной оценке справедливой стоимости и удобному способу считывать греки — а не как к гарантированной рыночной цене.

Когда вы поняли, сколько опцион стоит до экспирации, естественный следующий шаг — сколько он стоит на экспирации. Для выплат по одиночной позиции — максимальная прибыль, максимальный убыток и точка безубыточности — смотрите руководство по калькулятору прибыли опционов. Чтобы объединить несколько опционов в одну позицию, руководство по конструктору опционных стратегий разбирает многоногие выплаты, а руководство по max pain объясняет, как распределение открытого интереса по страйкам может притягивать цену вблизи экспирации.